结论：设计一个厨房在阳台上宽1.3米长5米是可行的。
原因：首先，阳台空间一般较小，需要通过精心设计来充分利用。
其次，设计厨房要根据烹饪习惯和使用方式，布局要合理，功能需求要满足。
最后，适用合适的厨房电器、橱柜等家电设施，使厨房功能更加完备。
内容延伸：在厨房设计时建议考虑以下几个方面：一是空间利用率高，可以选择嵌入式电器等等；二是橱柜要充分利用，增加收纳功能；三是合适的照明设施，使厨房更加明亮、宽敞；四是可以考虑增加阳台扩建，以满足更多的功能需求。
可以设计为L型厨房
因为L型厨房最适合小空间设计，且阳台上位置有限，采用L型厨房设计可以最大限度地利用空间。
内容延伸，可以选择简约时尚的风格，并加上不同颜色的橱柜和吸油烟机，让整个厨房看起来更加美观。
另外，可以考虑将炉灶和水槽放在一起，方便用水和排污。
同时还可以添加多个收纳柜，让厨房用具更加整洁有序，并方便拿取使用。
测量空间：首先，你需要测量厨房和餐厅的空间，以确定厨房的装修规模、布局和风格。
设计布局：根据你的需求和喜好，设计厨房的布局。可以考虑将厨房设备、储物柜、操作台等按照方便使用的原则进行布局。
选择材料：选择适合厨房装修的材料，如瓷砖、涂料、橱柜等。考虑到厨房的潮湿环境，建议选择防水、易清洁的材料。
拆除旧装修：如果原有的厨房装修已经过时或损坏，需要先拆除旧的装修，如瓷砖、橱柜等。
安装新装修：根据设计布局，安装新的装修材料。可以先安装橱柜、操作台等，再铺设瓷砖、涂刷涂料等。
安装厨房设备：安装厨房设备，如燃气灶、水槽、抽油烟机等。确保设备安装牢固、使用方便。
连接水电：连接厨房的水电线路，确保安全使用。请专业电工进行安装和检查。
细节处理：处理厨房的细节部分，如安装灯具、安装排气扇、安装挂钩等。确保整体装修效果美观、实用。
清洁验收：最后，对整个厨房进行清洁，确保无灰尘、无污渍。然后进行验收，检查装修质量是否符合要求。