可以要求公司人事部门补发书面的辞退通知书。如果是劳动合同期满，公司不再续签合同，这种辞退是符合劳动合同法的，也是没有经济补偿的，如果是在合同期内遭辞退，那就可以维护自己的权益，要求经济赔偿。
也可持书面的辞退通知书作为证据，向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
当然，如果公司坚持不补书面通知书，你也可以请人事部门复述口头辞退通知，你录音后也可作为证据的。
1. 求助法律援助：可以咨询专业律师来为自己的离职争取更好的条件，以及维护自己的权益。
2. 寻求仲裁：可以向劳动仲裁委员会提出仲裁申请，通过法律程序来解决争议。
3. 继续协商：不过，如果你对目前的协议并不满意，那么还可以继续和公司进行协商，希望他们能够多给你些离职补偿等。如果实在谈不拢，考虑其他的解决方式。 无论如何，协商离职是一件比较棘手的问题，需要谨慎处理，才能保证自己的利益和形象。
公司开除员工的记录通常会被保留在公司的内部档案中，并且可能会在员工的背景调查中被查询到。一些专门从事背调服务的公司可能会通过调查公司的人力资源部门或直接联系前雇主来获取相关信息。
因此，被公司开除的记录有可能会被背调公司查到，尤其是在需要进行严格背景调查的情况下。建议员工在求职前如实告知公司离职原因，以避免可能的尴尬和不利影响。