属于集合列中每个集合的元素全体所组成的集合称为这一集合列的下极限集或下极限，两者的具体理解如下：上极限包含那些在集列中无穷次重复出现的元素；下极限包含的元素满足一种条件，即为一个有限的正整数k，使该元素在S到k之间始终出现，S的下极限也可看作S的上极限的补充，即下极限是把所有在集列中无穷次不出现的元素排除出去后得到的集合。
集合的划分是的非空子集的集合，使得所有的元素都精确在这些子集的其中一个内。
等价的说，的子集的集合是的划分，如果没有的元素是空集。
(-某些定义不需要这个要求)的元素的并集等于。
(我们称的元素)的任何两个元素的交集为空。
(我们称的元素是两两不相交。
)的元素有时叫做划分的。
当我们说“集合”这个概念时，划分的思想已经存在了。
当我们说给定一个集合时，也就给定了该集合的补集。
一个集合与它的补集就已经构成了一个划分。
因此说上面的定义是再次划分的定义。
可以说划分和定义是一个概念。
原始定义也就是初始划分。
原始定义和公理又是一个概念。
给定一个公理也就是给定一个划分。
1.反对称关系：反对称性是一个关于数学上二元关系的性质。
大概地说，集合X上的二元关系R是反对称的，当且仅当不存在X里的一对相异元素a,b，它们R-关系于彼此；
2.定义：更准确地说，集合 X 上的二元关系 R 是反对称的，当且仅当对于X里的任意元素a, b，若a R-关系于 b 且 b R-关系于 a，则a等于b；
3.性质：按照定义， 偏序和 全序都是反对称的。