求函数的定义域主要应考虑以下几点：
1.当为整式或奇次根式时，定义域可取无穷值；
2.当为偶次根式时，被开方数不小于0；
3.当为分式时，分母不为0，当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
4.当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底数不为0；
5.当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集；
6.分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集；
7.由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还需要考虑实际意义对自变量的要求；
8.对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合；
9.对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1；
10.三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
十七世纪伽俐略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1637年前后笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。
1673年，莱布尼兹首次使用function表示幂，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。
与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
函数的三种常用表达方式如下：
1.解析法：用解析式把把变量的对应关系表述出来，能确定变化值之间的关系，简洁，便于计算。
2.列表法：用表格的方式把变量的对应关系一一列举出来，便于把握具体数值。
3.图象法：在坐标平面中用曲线的表示出变量的函数关系，能直观地把握数值变化情况和变化值之间的关系。