一、第一次数学危机，无理数的产生：
1.起源：第一次危机发生在公元前580到568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯学派的希帕索斯从毕达哥拉斯定理出发，发现边长为1的正方形对角线不能用整数来表示，这就产生了这个无理数，这无疑对万物皆数产生了巨大的冲击。
2.解决方法：公元前370年，这个矛盾被毕达哥拉斯学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法处理了。
二、第二次数学危机，微积分工具：
1.起源：1734年英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础，无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。
2.解决方法：法国数学家柯西给出了精确的极限定义，用极限定义连续性、导数、微分，定积分和无穷级数的收敛性，魏尔斯特拉斯及其追随者们实现了分析的算术化，至此，数学史上的第二次危机已经克服，数学的整个结构已被恢复。
三、第三次数学危机，罗素悖论：
1.起源：1900年巴黎国际教学会议上庞加莱宣称，集合论的概念本身出现了矛盾。
2.解决方法：策梅罗提出集合论公理系统，经费兰克尔、补充形成了一个完整的集合论公理体系，第三次数学危机得以解决。
第一次危机是一位学生发现了一个底边为1的等腰直角三角形的斜边永远无法用最简整数比来表示，从而发现了第一个无理数，推翻了毕达哥拉斯的著名理论，但就因此这个学生也被抛入大海。
第二次危机导源于微积分工具的使用。
许多疑难问题在运用微积分后变得易如翻掌。
但不管是牛顿，还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。
两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对无穷小量的理解与运用却是混乱的。
因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。
其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
第三次危机是罗素提出的著名的罗素悖论并指出集合论有漏洞。
1908年，策梅罗提出第一个公理化集合论体系，经其他数学家改进，称为ZF系统。
这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。
除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，比较圆满地解决了第三次数学危机。
第一次危机发生在公元前580至568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
第二次数学危机发生在十七世纪。
1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础即无穷小的问题，提出了所谓的贝克莱悖论。
由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面。
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。