1. 理解向量基底的概念：向量基底是指一组不共线的向量，它们可以用来表示其他向量。
2. 确定向量基底：根据题目给出的条件或要求，选择合适的向量作为基底。通常可以选择相互垂直的单位向量或已知的不共线向量。
3. 将待求解的向量表示为基底的线性组合：根据向量的加法和数乘法则，将待求解的向量表示为基底向量的线性组合。
4. 利用向量的基本运算求解：根据具体问题，进行向量的加减、数乘、内积等运算，求解出所需的结果。
5. 检查答案的合理性：根据向量的几何意义或实际问题的背景，检查求解结果是否合理。
例如，对于一个向量 a，可以选择向量 e1 和 e2 作为基底。然后，将 a 表示为 a = xe1 + ye2 的形式，其中 x 和 y 是待求解的系数。
在具体解题过程中，要注意向量的方向、大小、共线等概念，以及向量运算的规则和性质。通过多做练习，可以逐渐熟悉向量基底的解题方法和技巧。
以下是平面向量及其应用的一些重要知识点归纳：
1.向量的定义：向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示。
2.向量的加减法：满足三角形法则或平行四边形法则，即两个力（或者其他任何矢量）合成，将一个力的起始点移动到另一个的终点，合力为从第二的起点到第一的终点。
3.向量的数乘：实数与向量的乘积仍然是一个向量，其方向与原向量相同或相反，大小为实数与向量模的乘积。
4.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示向量，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标。
5.向量的模：向量的长度（或大小）称为向量的模，记作\\boldsymbol{v}。
6.向量的内积（点积）：两个向量的内积是一个标量，等于它们的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。
7.向量的垂直关系：如果两个向量的内积为零，则它们互相垂直。
8.平面向量基本定理：如果\\boldsymbol{e_1}和\\boldsymbol{e_2}是平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任意向量\\boldsymbol{a}，存在唯一的实数对(x,y)，使得\\boldsymbol{a}=x\\boldsymbol{e_1}+y\\boldsymbol{e_2}。
9.向量的应用：向量在物理、几何学、工程学等领域有广泛的应用，例如力、速度、位移等的分析。
这些知识点是平面向量的基础，理解和掌握它们对于解决向量相关的问题非常重要。
平面向量基本定理在数学和物理学等领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1.向量分解：根据平面向量基本定理，可以将一个向量分解为两个不共线的向量的线性组合。这在解决向量相关问题时非常有用，例如在力学中分解力的作用，或者在几何学中分解向量的方向。
2.坐标表示：利用平面向量基本定理，可以通过选取一组不共线的基向量，将平面上的任意向量表示为基向量的线性组合。这种坐标表示方法在向量的计算和分析中提供了便利，使得向量的运算更加简单和直观。
3.线性方程组求解：平面向量基本定理与线性方程组有密切的关系。通过将线性方程组中的未知数看作向量，将方程组转化为向量的线性组合形式，可以利用向量的运算和性质来求解方程组。
4.几何问题：在几何学中，平面向量基本定理可以用于解决几何问题，如判断向量的平行、垂直关系，计算角度和距离等。通过将几何问题转化为向量的运算，能够更方便地进行推理和计算。
5.物理问题：在物理学中，向量常常用于描述力、速度、加速度等物理量。平面向量基本定理可以帮助我们分析和解决与这些物理量相关的问题，例如受力分析、运动学问题等。
6.计算机图形学：在计算机图形学中，向量可以用于表示图形的位置、方向和大小。平面向量基本定理在图形的变换、旋转、缩放等操作中起着重要的作用。
7.数据分析：在数据分析中，可以将数据看作向量，利用向量的运算和性质来进行数据处理和分析，例如主成分分析、聚类分析等。